彩色图像文件加密算法之频谱切割和二维Arnold变换

2022-10-28

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针对多通道彩色图像加密算法传榆负担大的缺陷，我们提出了一种基于频谱切割和二维Arnold变换的单通道彩色图像文件加密算法。

一、基于频谱切割和二维Arnold变换的单通道彩色图像文件加密算法相关基础

通常图像傅里叶频谱的能量主要集中在中心的低频部分，即可由傅里叶变换的低频部分重建原始图像。当分数阶接近l时，经过FrFT以后，中间部分的频谱包含了图像的大部分信息，可以基本描述图像，解密时使用一半的频谱即可有效恢复出原始图像。对FrFT域进行频谱切割，将其高频部分用O代替，再将多个图像的频谱组合成新的频谱，能缩减数据量，提高加密效率。该方法牺牲的图像细节信息在视觉上差异很小。假设函数I（x，y）在（x，y）内没有零值，x∈[-Lx，Lx]，y∈[-Ly，Ly]，函数I(x，y)的二维FrFT为，其中Lu、Lv限制了输出函数ψ(u，v)中变量u和v的幅度。ψ(u，v)的频谱切割方程为，其中kx和ky为区间(O，1)内的切削系数。

Arnold变换是一种点的位置移动变换，即单位矩阵内各点唯一地变换到单位矩阵内的另一点。对于数字图像，二维Arnold变换形式为：

其中N是图像矩阵的大小。数字图像的位置移动是将（x，y）处像素对应的灰度值移动至（x'，y'）处。遍历原图像的所有点之后，便产生一幅置乱的新图像。Arnold变换具有周期性，当迭代到某一步时，将重新得到原始图像。对数字图像迭代地使用离散Arnold变换，即将前一次变换输出（x'，y'）作为Arnold变换的输入，直到图像“杂乱无章”，即变成类似噪声的无意义图像，以达到置乱的效果。

二、本文的彩色图像加密算法

对于N×N×3的彩色图像，加密算法的步骤如下：

1)提取原始彩色图像的RGB分量。

2)对RGB分镫分别进行FrFT。

3)按相应的切削系数对RGB分量的FrFT频谱进行切割，将切割得到的频谱ψ1，ψ2，ψ3组合在一起，得到N×N的二维组合频谱图ψ。

其中：S1、S2和S3表示相应的切削系数所限制的频谱范围。

4)利用二维Arnold变换对组合频谱沙进行置乱，即利用式(5)遍历沙的所有点完成一次Arnold置乱，以此类推对每次变换所得结果进行Arnold变换，直到完成所设定的迭代次数。迭代次数可作为密钥。迭代完成后，ψ被置乱为ψ’。

5)对ψ’进行随机相位编码，与第2）步一起构成双随机相位加密。对于实值的输人图像，双随机相位编码加密过程中真正起作用的是第二块随机相位模板，将第2）步中的相位模板看作相位全O的模板。

其中ψ”（u’，v’）和p（u，v）分别为密文图像和随机相位掩模。

解密过程与加密过程相反，进行随机相位解码后利用二维Arnold变换的周期性恢复出组合频谱，从中提取出RGB三个分量的FrFT频潜，不足部分填充0，再对其进行分数傅里叶逆变换，解密出原始彩色图像的RGB分量，三者的组合就是解密图像。

三、仿真与分析

在Matlab平台上对大小为512x512的彩色图像Lenti进行仿真。第2）步和第5）步中FrFT的x和y方向上的阶次分别设为α=0.9和β=0.5；频谱切割时RGB三个分显的比例为1:1:2；二维Arnold变换的迭代次数设定为200；生成随机相位模板的种子seed =0.550图l为正确密钥加解密结果，图(d)为将频谱进行随机相位编码后所得的图像（即密文图像）；图(e)为随机相位解码后的频潜。图2为错误密钥的解密图像，由图可知，本文算法对各个密钥的敏感性较强，只要其中一个密钥错误，都无法正确解密出原始图像。

为了考察频谱切割比例对系统解密的影响，本文对不同频谱切割比例的解密图像进行分析。

1)分数阶不都接近于1

设加密密钥为：R分量x和y方向上FrFT的分数阶分别为0.9，0.95；G分量x和y方向上FrFT的分数阶分别为0.8．0.85；B分量x和y方向上FrFT的分数阶分别为0.7，0.75。不同频谱切割比例下的解密图像如图3所示。对于彩色图像Lena来说，频谱切割的分数阶不都接近于1时，B分量占的比例较大，R和G分憬占的比例较小时，加密图像与原始图像的差异较小，解密效果较好，即B分最比R和G分最来说更加重要。因此，频谱切割时要得到最佳的解密效果应该尽量多地截取8分量的频谱，少截取R和G分量的频谱。不同的彩色图像具有不同的颜色特点，各颜色分量的重要程度也不同，因此应根据原图像的颜色特点进行频谱切割。

2)分数阶都接近于1

选取RGB分量在x和y方向上FrFT的分数阶均为0.9，对应不同频谱切割比例的解密结果如图4所示。对Lena来说，频谱切割的分数阶都接近于1时，不同频谱切割比例的解密图像与原始图像非常接近，这表明3个分量的重要性是相当的，可以不考虑频谱切割的比例问题。

小知识之频谱

频谱就是频率的分布曲线，复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。广泛应用在声学、光学和无线电技术等方面。频谱是频率谱密度的简称。它将对信号的研究从时域引到频域，从而带来更直观的认识。