非线性图像加密算法之基于随机分数梅林变换的应用

为了消除线性加密系统的安全隐患，提出了一种基于随机分数梅林变换的非线性图像加密算法。结合对数一极坐标变换和随机分数傅里叶变换构造了随机分数梅林变换，随机化过程用到的实对称随机矩阵由线性同余函数生成。输入的实值图像经随机分数梅林变换非线性加密，得到便于存储和传榆的实值密文。该算法增加了线性同余函数的3个参数作为密钥，与分数梅林变换相比，随机分数梅林变换的分数阶密钥的敏感性更强。数值模拟表明该算法有较强的抗攻击能力，密钥灵敏度高，具有良好的安全性。

一、图像加密算法

1、分数梅林变换

二维函数f(x，y)的分数梅林变换定义为：

其中：C为常数，P1，Pz分别为x，y方向的变换阶次，和。分数梅林变换的一种快速实现方法是将以f(x，y)由笛卡尔坐标系转换到对数一极坐标中，再对转换结果实施FrFT。即：

对数一极坐标变换定义如下：

对数一极坐标变换决定了分数悔林变换具有非线性属性。

2、数字图像加密过程

根据式(2)的类推，FrMT的实现可在离敞分数傅里叶变换（Discrete Fractional Transfonn．DFrFT）的基础上得到，即FrMTU(x，y)]=DFrFT[f(p，θ)]。得到像的加密和解密过程如图1所示。

待加密的二维数字图像A的DFrFT的矩阵形式为：

其中：T表示矩阵转段，p是DFrFT的分数阶。变换核矩阵Hp为：

其中：V为本征向鼠矩阵，Dp为DFrFT本征值的对角矩阵，Dp中的N个值为：{exp( - 2irrnplt)（n=0，1,2，…．N-1）}，这里t是DFrFT的周期，N是自然整数。

引入LCG随机化本征向量v，即随机化了DFrFT的核矩阵HP。LCG的递推关系为：

其中：n=1，2，…；模数M为大的正整数。初值xo(0≤xo<M)，乘数a(0≤a<M)和增域b(0≤b<M)为LCG的3个参数。利用LCG生成的伪随机序列，重构一个2维随机矩阵R，并通过计算得到一个实数对称矩阵S：

数值计算矩阵Is的归一化本征向量，得到实数的本征向量V，S是对称的随机矩阵，由它计算得到的本征向量矩阵相互正交，且具有随机性。矩阵s与H满足乘机交换关系HS=SHi'，它们具有栩同的本征向量；随机化的y作为DF-rF1’的本征向量矩阵，也即随机化了DFrFT的核矩阵，从而得到随机DFrFT随机DFrFT有FrFT良好的数学性质，且具有变换谱能量均匀分布和半剧期实数化的特点，这对图像加密来说十分有益。

原始图像通过由对数一极坐标变换和随机DFrFT构造的随机FrMT。完成图像像素值和位置的双重加密，得到类白噪声的密文，分数阶p和LCG的参数（x0，a，b）作为加密算法的密钥。对于实际输人信号，随机分数傅立叶变换的输出结果是实值的，可节省密文的存储空间，减轻传输负担。密文的解密过程通过随机FrMT的逆变换完成。

二、加密算法统计分析

模拟中分数阶次P= 0.5，线性同余函数的参数xo=100，a= 16807，b=7，M=231-1。图2(a)为255×255的原始图像Lena。图2(b)为加密结果，是类似于噪声图像的实值信息，利于密文存储与传输。图2(c)为Lena的直方图，图2(d)是密文的直方图，相比原图的直方图明显变平滑了，密码分析者可以通过统计特性获得原始图像的特征。

为了说明加密算法符合经典密码理论中的混淆与扩散思想，在密钥相同的条件下，用本加密算法加密图3(a)所示的图像Baboon，图3(b)为其直方图。

与Lena的直方图明显不同，统计特性完全不同。密文直方图如图3(c)，与图2(d)相比，对不同统计特性图像加密后得的密文具有相类似的直方图，加密算法可有效抵抗统计分析攻击。 相邻像素的相关性反映像素的扩散程度，原始图像的水平、垂直和对角方向的栩邻像素具有很高的栩关性，安全的加密算法得到的密文相邻像素相关性要尽可能小。表1给出了明文和密文图像在水平、垂直和对角线方向上相邻像素的相关系数。

图4(a)和4(b)分别为明文和密文在水平方向上相邻像素的相关性分布图。从相关系数表和相关性分佑图可知，密文的相关性显著弱于原图的相关性，无法通过相关性分析由少量图像信息恢复明文。

三、加密算法安全性分析

算法的密钥为DFrFT的分数阶和LCG的3个参数，所有密钥正确时，解密的结果如图5(a)所示。

衡量解密图像和原始图像的相似程度一般采用均方误差(Mean Square Error．MSE)，MSE=3(X)O作为阀值，当均方误差低于此阙值时，几乎可以恢复原始图像。均方误差定义为：

其中：M×N为图像的大小，h1(i，j)和h2(i，j)分别代表原图和解密图像的灰度值。 图5(c)对应FrMT和随机FrMT计算了分数阶密钥的MSE，进行了灵敏度对比o当分数阶没有偏差，即p=0.5时，MSE值为0。常规FrMT的MSE曲线p=0.1或p=0.9时，对应的MSE值才达到阈值，分数阶灵敏度不高，只能作为辅助密钥，还需设计主密钥达到加密所需的安全指标。随机FrMT在p有微小偏差时，MSE曲线迅速上升到3 000以上。图5(b)是p=0.505时对应的解密图像，有相当强的噪声。随机化后FrMT的分数阶密钥灵敏度大幅提高，密钥空间巨大，穷举攻击很难成功，完全可以作为加密算法的主要密钥。 为了说明LCG参数密钥的安全性，引入偏差量△，图6(a)、(b)和(c)表示3个参数x0，a和b分别偏差△=1时对应的解密图像。LCG参数作为密钥的MSE曲线如图6(d)所示，由图可知，任何一个LCG参数的偏差量|△|≥1时，MSE>3000。3个参数作为密钥具有几乎相同的离灵敏度，拥有巨大的密钥空间，能有效抵抗穷举攻击。

图像处理和传输过程中会有噪声的影响，所以算法抵抗噪声的倍棒性很重要。将均值为0，方差为0.1的高斯噪声G加入密文E。噪声干扰后加密图像振幅为E’，表示为：

其中k是噪声强度的系数。对应k的变化，解密图像的MSE变化如图7所示。

高斯噪声强度k=0.5和k=1时，攻击后的解密图像MSE值分别为400和1200，两昔的值远小于阈值，表明加密算法具有良好的抗噪声攻击能力。