融合雅克比椭圆混沌映射的图像文件加密算法

由于当前的基于混沌映射的图像加密算法存在瞬态效应，且在像素扩散阶段都没有使用完整的随机密码序列，从而降低了加密系统的安全性，无法抵御各类明文与密文攻击。对此，设计了一个完整的随机密码序列和新的雅克比椭圆映射，并定义了一个S盒变换规则；构造了预混淆-混淆-扩散结构，提出了一种基于S盒变换规则耦合雅克比椭圆混沌映射的图像文件加密算法。

一、雅克比椭圆混沌映射

可将具有不变测度的雅克比椭圆映射视为n次多项式比值，其方程如下：

式(l)中，Qn(x，β)为雅克比椭圆映射函数；x为系统变量；β为控制参数；H为替代函数。单参数集合所处区间为[0，1]。的表达式由sn、dn以及cn代替

以上关系可表示为：

式(4)中，sn(v)、cn（v）以及dn（v）均为雅克比椭圆映射形式函数；式(4)中，sn(v)、cn(v)以及dn(v)均为雅克比椭圆映射形式函数；v为变量；而为模量。

从上述可知，雅克比椭圆映射函数sn（v）与变量钞和模量k有关。映射Q为(N-I)个节点映射，也就是说该映射在单位区间[O，1]中有（N-1）个关键点，他们具有一个稳定固定点或遍历行为，如图1所示。

对公式(1)进行求schwarzian导数，得到如下模型

式(6)中，Z[ QN(X，β)]代表QN(X，β)映射的导数；QN(X，β)代表雅克比椭圆混沌映射；H（x）为替代甬数；Vs代表菇的矢量。

由上述公式可知，该导数是负的，它限制了稳定周期轨道的数量，具有负Schwarzian导数的单峰映射最多有一个稳定的周期轨道。因此，映射Q最多有(N+1)个吸引周期轨道，他们只有单周期的一个稳定固定点或者他们是遍历映射。

根据模型(1)一模型(4)，可得如下模型:

式中，k代表模型式(7)一式(9)的控制参数。对于模型式(7)一式(9)的任何一个具体参数而言，这些模型都是遍历的。和其他普通映射相反，因上述映射的参数是变换的，因此这些模型并没有显示倍周期、周期Ⅳ分岔或者逐步过渡到混沌状态，而是在某个参数的固定区域内，他们拥有单个固定点吸引子，对于正Lyapunovz指数的参数而言，他们无需精确的周期N分岔就可以直接分岔到混沌状态。

1、Lyapunovz指数

图像加密算法应该拥有姣好的初值敏感性。Lyapunovz指数是混沌状态的一个标准。在对雅克比椭圆映射迭代计算之后，考虑相邻的两个点xo与（xo+δ），则其Lyapunovz指数定义如下：

式中，λ（x0）为Lyapunovz指数；Qtn( xo)为点xo在t时刻的雅克比椭圆混沌映射函数状态；δ为相邻两点的差值。

很显然，这些负值表明这个系统是处于吸引子体系中，而他们的正值则暗示了这个系统是可预测的o Lyapunovz指数的数量与初始点xo无关，它表明了在不变流形范围内的运动是遍历的，因此将λ（xo）雅克比椭圆映射的不变流形视为一个整体。对于方程式(1O)和式(ll)而言，根据Birkhoff遍历定理可知，其极限在某些轻微的限制条件下是存在的。对初值条件的敏感性可通过Lyapunovz指数来预测。鉴于此，对于混沌加密系统来说，控制参数值必须按照正Lyapunovz指数来选择，对于所有控制参数值而言，使用一个正Lyapunovz指数的混沌映射是非常重要的。因此，雅克比椭圆映射由于其具有多个正的Lyapunovz指数，是混沌加密系统的一个好选择。为了区分雅克比椭圆映射控制参数的合理范围，本文模拟了不同β值对应的Lyapunovz指数，如图l所示。通过调整初值和控制参数能够产生密钥空间，将雅克比椭圆映射转变为混沌映射，且可以改变密钥空间的大小。

二、S盒变换规则融合雅克比椭圆混沌映射的图像加密算法

图2为本文加橙算法的流程框架图。其包含了三个阶段：①S盒变换阶段；②混淆阶段；③扩散阶段。在S盒变换规则下预处理图像，使得处理后的图像拥有非线性结构，达到了预混淆效果；通过混淆与扩散阶段，并将完整的随机密码序列引入在扩散阶段，显著增强了加密算法的安全性。本文设计的加密算法实现了双混淆与扩散机制相结合，显著增强加密系统的抗攻击能力。

1、本文加密算法设计

1）步骤I:S盒变换阶段

1)首先从j=2n到2反复执行S盒变换规则。S盒变换规则定义如下：

①将区间[O，1]分成j个子区间：

②迭代雅克比椭圆混沌映射模型式(7)，迭代次数为i次，得到当前值Qcn(xi，β)；

③假没当前状态值Qcn(xi，β)位于第m个子区间

内。交换序列K中的第m个整数后km与第j整数jm。其中，K为随意置乱整数序列{O，1，2…2n—l｝所得到的序列之一；

④根据以下方程改变模型(7)的控制参数β:

式(12)中，无限为序列K中的第m个整数；β’为改变后的参数；卢为改变前的参数。

2)将K转换成一个2a/2×2n/2表格，从而得到nxn的S盒，例如，若图像大小为256×256，则得到16 x16的s盒。

3)将尺寸为M×N的图像I分成z个像素块，每个像素块为8 byteso定义SBi、Pi分别为像素块Bi的第j个S盒子、第i个字节。其中Bi=( PoP1...P7)，Bz以此类推。首先用SBi替代Pi，得到替代块Bz。

4)随后利用左循环移4位操作对步骤3）中得到的替代块Bj进行置乱，继而得到密文块Cz。

S盒变换过程如图3所示。

步骤2：混淆阶段

1)在经步骤l预混淆后图像里任取一个像素点pi，经过代数变换函数计算得到x’。

式(13)中，戈’o为预设初值，α、ε为特殊参数，α、ε∈[O，1，2，…，M×N]。

2)将上述得到的xo'作为Logistic混沌映射的初值，对该映射进行达代MxN次，得到一组伪随机序列 X=（x’l，X'2,X’3"...X’mxN）。

3)在步骤2）中得到的伪随机数组任意选取一个x’，将其作为雅克比椭圆混沌映射(7)的初始密钥匙，并进行迭代计算L+MxN次，l为灰度级别，从而有效地消除了混沌映射的瞬态效应，并忽略本轮迭代结果。

4)在伪随机序列中再任选一个x'j（i≠j），根据代数变换函数f(i）以及f’j，通过简单的乘除运算改变雅克比椭圆混沌映射(7)的初值xo以及参数β，得到新的初始外部密钥（x’o和β’）。

式(14)中，floor(引代表的是与X相距最小的X整数(≤X)；mod(X，y)代表的是X对y取余，XOR为按位异或操作，B；为第f个像素块。

5)将步骤4）得到的外部密钥（菇’o和JB’）视为雅克比椭圆混沌映射(7)的初始条件，再次对模型式(7)进行迭代计算L+MxN次，得到一维数组Y=(xl,x’2,x’，3，…，XL+JvxN)。

6)借助修正函数对一维数组Y=(X"2，，…，XL+VxN)进行修正，得到一个新数组y，=（xJ，X2，X3，…，XL）.修正函数如式(15)。

式(15)中，xi为修正后的序列，为修正前的序列。

7)利用步骤6）所得到的新数组按照按如下方程对S盒变换处理后的图像像素点Pi进行混淆，直到所有的像素点混淆完毕D像素值混淆方程如下：

式(16)中，P’；一，为混淆后的像素值，Pi-I为S盒变换后的置乱图像像素值；0代表异或运算。

3）步骤3：扩散阶段

1)采用密钥流机制量化修正后的序列y，（X1，X2，X3，…，XL十MxN），得到一个新的序列S’=（X7I，另’2，菇’3，…，XL．MxN），模型如下：

式(17)中，round(剐代表的是对X进行取整；L代表的是图像的灰度等级。

2)为了在该阶段能够有效的进行扩散，显著提高加密系统的安全性，根据步骤1）得到的密钥流量化序列S7=（石7】石’2 Xr3.．石’工+Ⅳ×Ⅳ），本文设计一个完整的随机密码序列X=（XI，X2，X3，…，面L．MxⅣ）：

式(18)中，mod(X，y)代表的是X对y取余；floor(鄹代表的是与X相距最小的X整数(≤X)o

3)利用完整的随机密码序列X=(XI，X2，X3，”．，XL+ⅣxN)o

按照扩散机制对混淆后的图像像素进行扩散。

扩散模型如下：

式(19)中，①代表异或运算。n是迭代次数，W( r}-l)町、P’(n—I)町分别代表密文像素值、混淆图像像素值；JV(n-I)+j-1为对应被处理明文图像的前一个密文图像的像素值，其初值Wo位于[O，255]内，为整数常量；a为特殊参数，O∈[O，1，2，…，M×N]。