基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法

2022-10-28

使用过公钥加密算法的朋友们都知道，公钥加密算法的核心是寻找陷门单向函数，利用该函数求逆的不可行性，对发送的消息进行加密，从而实现通信的保密和网络安全。鉴于上述原因，我们根据数学难题“哥德巴赫猜想”设计出了一种新的公钥加密算法，下面我们就给大家介绍一下这种基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法。

基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法

一、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法描述

一个函数，若计算函数值很容易，并且在缺少一些附加信息时计算函数的逆是不可行的，但是已知这些附加信息时，可在多项式时间内计算出函数的逆，那么我们称这样的函数为陷门单向函数。

定义陷门单向函数是满足下列条件的一类不可逆函数f_k：

（1）若k和X已知，则容易计算Y=f_k(X)

（2）若k和Y已知，则容易计算X=f_k^-1(Y)

（3）若Y已知但k未知，则计算出X=f_k^-1(Y)是不可行的。

哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的明珠。

本文设计的公钥密码算法是基于哥德巴赫猜想，即假设哥德巴赫猜想成立，任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇素数之和。给定一个大偶数，要求该偶数是由哪两个素数组成的，是很困难的。利用该特性，设计该公钥加密算法。

二、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法如下

（1）随机选择大素数p、大素数q；

（2）求N=p+q，判断p与N是否互质，如果互质则执行第（3）步；否则返回第（1）步；

（3）由aN+bp=1得到整数a，b；其中一个为负数；

定理1：如果两正整数p，q互质，则可以找到两个整数a，b，使得ap+bq=1。显然，两个素数一定是互质的。

（4）所得的公钥PUb为{N,b}，私钥PRb为{p}；

（5）发送端发送明文M时，利用公钥{N,b}进行加密，则加密可表示为：C=(b_M)modN，其中C为密文；

（6）接收端接收密文C时，利用私钥{p}进行解密，则解密可表示为：M=(p_C)modN。下面以具体示例介绍该算法的加密、解密过程。

三、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法的加密、解密过程

（1）随机选择素数p=3，q=5。

（2）则N=p+q=3+5=8；且满足p与N互质的条件；

（3）由aN+bp=1，求出a=2，b=-5；

（4）所得的公钥PUb为{8,-5}，私钥PRb为{3}；

（5）当发送端发送明文M=7时，可利用公钥PUb={8,-5}加密，则加密过程为：C=(b_M)modN=(-5_7)mod8=-35mod8=5

说明：定义整数x除以正整数n所得的余数为x模n，则可以写出x=x/n_n+(xmodn)。

（6）接收端利用PRb={3}对密文C进行解密，解密过程为:M=(p_C)modN=(3_5)mod8=(3_5)mod8=7

这说明加密前的明文M和解密后的消息M是一致的。

四、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法证明

设发送端发送的明文为M，加密后的密文为C。已知N=p+q，其中p、q为素数，且p与N互质。

证明:由M=(p_C)modN可得M#p_C(modN) （1）

因为C=(b_M)modN，则可将上式转化为如下形式：

M#(b_p_M(modN))(modN) （2）

因为aN+bp=1，则将（2）转化为如下形式：

M#((1-aN)_M(modN))(modN)M#((M-aNM)(modN))(modN) （3）

由模算术性质，则可将（3）转化为如下形式：

M#((MmodN)-(aNMmodN))(modN)M#(MmodN)(modN)

在实际加密过程中，可将消息M拆分为若干等分(如以字节为存储单位)，则M必定远远小于N，所以解密后的M’和加密前明文M的一定是相同的。

小知识之哥德巴赫猜想：

在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

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