Montgomery加密算法作为一种快速且有效的大数模乘算法,得到了广泛的研究和应用。下面我就给大家讲一下这种加密算法。
一、Montgomery加密算法描述
1、Montgomery加密算法
Montgomery加密算法计算模乘,是大数模幂乘的基础。此算法描述为:
Monpro(A,B,N)=ABR-1(modN)
其中:R可以为任何的基底,但是为了便于在计算机和硬件实现时易于处理,采用以2为基的幂次。并且要求如果R是2k,则N满足:2k-1≤N<2k,而且要求,gcd(R,N)=1,这只要N为奇数就能满足要求。
2、Montgomery加密算法的分析
Montgomery加密算法的最大特点是化除法为移位运算。因此必须构造一种结构,在此结构中避免除法的出现。可以证明存在一个数∏具有以下性质:e3ē-N30=1。
相应构造的Monpro(A,B,N)的运算步骤为:
Monpro(A,B,N)=A3B3ē(modN)(令A3B=T)={T(mode3N)+(T3N30)(mode3N)}/e={T+[(T30)(mode)]3N}/e=[A3B+(A3B30)(mode)3N]/e
二、Montgomery加密算法的实现
Monpro(A,B,N)是实现Monexp(A,P,N)的最为重要的环节。
下面将给出其具体实现方法,以S=2k为基数。(C,S)表示为2个k比特数,其中C表示进位。e=2k3n,ē为e的逆元,令0具有以下性质:
e3ē-N30=1;0[0]为0的最低位。Monpro(A,B,N)的详细步骤如下:
Algorithm1:MontPro(A,B,N)
1、fori=0upton-1
2、C=:0
3、forj=0upton-1
4、(C,S)=:t[j]+b[j]3a[i]+C
5、t[j]=:S
6、(C,S)=:t[n]+C
7、t[n]=:S
8、t[n+1]=:C
9、m=:t[0]30[0](mod2k)
10、(C,S)=:t[0]+m3n[0]
11、forj=1upton-1
12、(C,S)=:t[j]+m3n[j]+C
13、t[j-1]=:S
14、(C,S)=:t[n]+C
15、t[n-1]=:S
16、t[n]=:t[n+1]+C
17、fori=0upton
18、q[i]=:t[i]
19、ifQ>N
20、returnQ=:Q-N
三、Montgomery加密算法的FPGA实现及改进
对于Montgomery的FPGA实现,需要考虑硬件资源的消耗和速度的提高。对于基数的选择不能太长,太长的话,各个模块间的延时会增加,整个系统的时钟频率要下降。但也不能太短,太短的话,同样长度的数据各个模块的运算时间会增加,同样不利于速度的提高。同时也考虑到与外围电路的接口,所以采用以r=28为基数。改进的适合FPGA的Montgomery加密算法如下:以r=28为基数。(c1,s1),(c2,s2)表示为2个8比特数,其中c1,c2表示进位。T为w+1位28进制的数:
twtw-1…t2t1t0;
Algorithm2:MontPro(A,B,N){S=0;
T=0;
fori=0tow-1do{(c1,s1)=t[1]+a[0]3b[i];
t[0]=s[1];
m=(s[0]+t[0])30[0](modr);
(c2,s2)=s[0]+m3n[0]+t[0];
forj=1tow-1do
{
(c1,s1)=t[j+1]+a[j]3b[i]+c[1];
t[j]=s1;
(c2,s2)=s[j]+m3n[j]+c2;
s[j-1]=s2;
}
t[w]=c1;
s[w-1]=c2;
}
c1=1;
(c2,s2)=s[0]+t[1];
s[0]=s2;
forj=1tow-1do
{
(c2,s2)=s[j]+t[j+1]+c2;
s[j]=s2;
(c1,s1)=s[j-1]+not(n[j-1])+c1;
t[j+1]=s1;
}
(c1,s1)=s[w-1]+not(n[w-1])+c1;
t[w]=s1;
if(c2xorc1=1)thenoutput(t[w]t[w-1]……t[2]t[1])r;
elseoutput(s[w-1]s[w-2]……s[1]s[0]);
}
小知识之FPGA:
FPGA(Field-Programmable Gate Array),即现场可编程门阵列,它是在PAL、GAL、CPLD等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路(ASIC)领域中的一种半定制电路而出现的,既解决了定制电路的不足,又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。
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