基于人工噪声的多用户多输入多输出系统加密算法

当多用户多输入多输出系统中的用户数多于或等于发射端天线数时，现有的基于人工噪声的物理层加密算法会导致合法用户无法正常接收。为提高此时的多用户多输入多输出系统的安全性，该文提出一种新的基于人工噪声的多用户多输入多输出系统加密算法。

一、多用户多用户多输入系统加密模型

多用户多用户多输入系统的加密模型如图1所示。假设发送端拥有NT根发射天线，K个合法用户的接收天线均为NR。有1个窃听用户，其接收天线数为NE根。

第K个合法用户和窃听用户接收到的信号分别为：

其中bk为第尼个合法用户发送的信号，Hk为第k个合法用户的信道状态矩阵，H为窃听用户的信道状态矩阵，tk和p分别为消除多用户干扰和人工噪声对合法用户影响的预编码且均为Ntx1维，名为人工噪声nk和ne。分别为合法用户与窃听用户的加性高斯白噪声。

第k个合法用户与窃听用户对信号的估计分别为：

其中wk和We分别为第k个合法用户与窃听方的波束赋形加权且均为NR xl维向量，wkh和weh为wk和we共轭转置。

二、基于人工噪声的多用户多用户多输入系统加密算法

当系统存在多个合法用户时，利用人工噪声进行加密必须满足两点要求：

(1)防止多用户之间的互干扰；

(2)人工噪声对合法用户的影响最小。

根据这两点要求，加密算法的主要思想是设计预编码p和tk，使信号经过合法用户信道后能滤掉大量的人工噪声和多用户间的干扰，而窃听方受到人工噪声的干扰无法正确解调。从式(3)，式(4)可以看出合法用户受到小部分人工噪声的干扰wkHkpz和信道中存在的自然加性噪声wkhnk的影响，窃听方受到用户间的干扰，大部分人工噪声weHhepz以及信道中的自然加性噪声Wehne的影响。从上述分析可以看出，预编码tk和p的设计直接关系到能否消除人工噪声对合法用户的影响和多用户干扰，然而tk和p是通过构造补矩阵和联合信道状态矩阵并分别对其进行奇异值分解才得到的预编码。因此，算法可以分为基于补矩阵奇异值分解的预编码和基于联合信道状态矩阵奇异值分解的预编码两大模块。

1、基于补矩阵奇异值分解的预编码

采用改进的迫零波束赋形方法，首先在接收端进行波束赋形其加权向量为wl，然后定义补矩阵Hl=[h1，…，hl-1，hl+1，…，hK]T，且hL=(WlHHl)T是NT×1的向量，可以得知H2为(K-1)×NT维，最后对其进行奇异值分解得Hl=UlDlflh。当K≤NT时，Hf的行小于列，奇异值分解存在零空间，右奇异向量可以继续分解为vl=[vl(8)vl(0)）]H，vl(8)为非零奇异值对应的右奇异向量，vl(0)为补矩阵的零空间。因此，可得基于Ht奇异值分解的预编码tk=Vl(O)。

2、基于联合信道状态矩阵奇异值分解的预编码

要使人工噪声同时满足对K个合法用户的影响最小，定义联合信道状态矩阵为Hk=[hi，…，hK]T，其中hL=(WlHHl)T是NT×1的向量，H为K×NT维，进行奇异值分解得Hk=Uk Dk Vki。

当K<NT时，HK的行小于列，奇异值分解存在零空间，右奇异向量可以继续分解为vk=[Vk(8) Vk(0)]H，Vk0)为Hk的零空间，可得基于Hk奇异值分解的预编码p=Vk(0)，此时通过预编码人工噪声对合法用户的干扰为零。当K≥NT时，右奇异向量可以继续分解为vk=wk(8)H，此时H分解不存在零空间，即多用户MIMO系统不存在零空间。为了使人工噪声落在对合法用户影响最小的子信道传
输，以达到减少对合法用户影响的效果，选取Vk(s)中对应奇异值最小的向量为预编码p。其具体计算步骤如下：

(1)对hk进行奇异值分解，并选择最大奇异值对应的左奇异向量为Wk；

(2)构造补矩阵Hl=[h1，…，hl-1，hl+1，…，hK]T，并对其进行奇异值分解得到预编码tk，用于消除多用户干扰；

(3)构造联合信道状态矩阵Hk=[hi，…，hK]T，并对其进行奇异值分解得到预编码p，用于消除人工噪声对合法用户的影响。

三、基于人工噪声的多用户多输入多输出系统加密算法性能分析

1、基于人工噪声的多用户多输入多输出系统加密算法安全性能分析

关于保密容量的定义，可以推出不存在零空间下的多用户多输入多输出系统第k个用户的保密容量为：

其中σu，σz，σn，σe分别表示第k个用户分配的信号功率、人工噪声功率、合法用户信道的噪声功率，以及窃听用户信道的噪声功率。当且仅当干扰项与人工噪声均服从高斯分布时，等式成立，即可以得到高斯信道下的多用户多用户多输入系统的第k个用户的保密容量为：

从式(6)可以看出在总功率受限的条件下，一部分功率用来发射人工噪声，这个信号功率与噪声功率的分配问题直接影n向到保密容量。假设用户之间的功率是均匀分配的，且有用功率分配系数为φ，则第k个用户的功率为pk=φP/K，第k个用户噪声分配的功率为pn=(1-φ)P/K，第k个用户的信道容量为：

窃听方的信道容量为：

设：

则：

对保密容量公式Csec=CAk-CAe进行求导，并令其等于零得到φ的一元二次等式为：

其中a1= E-F+D，a2=A-B，q=E-F，b2=-B，h1=F+G，h2 =B+C，z1=Ah2，z2=dh1，通过以上公式可以讨论判断得到够的取值使第后个用户的保密容量最大。

2、基于人工噪声的多用户多输入多输出系统加密算法系统性能分析

由式(7)可得不加人工噪声即φ=1时，第k个用户的信道容量为：

那么不加人工噪声时系统的和容量为：

同理可得加人工噪声后系统的和容量为：

于是可得通过人工噪声加密后系统损失的和容量为：

由式(15)系统损失的和容量与接收端波束赋形向量Wk以及消除多用户干扰的预编码tk，减少人工噪声影响的预编码p，有效功率分配系数妒密切相关，在上节的分析均给出了预编码的设计原则，即让有用信号在主信道发送即使|wk Hktk|2最大，让人工噪声在次信道上发送即|WHHkp|2最小，这样人工噪声对合法用户影响最小，系统损失的和容量也最小。

四、基于人工噪声的多用户多输入多输出系统加密算法仿真与分析

1、保密容量

首先，本文的方法对系统存在零空间下的加密进行了保密容量与和容量的仿真。假设发送方与接收方的天线数均为4，合法用户数为3，合法用户信道状态已知且归一化，总功率恒为500mW。系统中第k个用户的保密容量与和容量的仿真如图3和图4所示。

图2横坐标为用户信道噪声功率与窃听方信道噪声功率的比值，纵坐标为保密容量。在未加人工噪声之前，由于多用户间的干扰对第三方的影响使其部分保密容量大于零；加人工噪声后，保密容量整体提高，致使40≤σn2/σe2≤100部分保密容量均大于零，从而实现安全通信。图3表示由于发射功率受限，所以加密后对和容量有一定的损失，且噪声功率分配越多损失越大。

然后，保持其它仿真条件不变将合法用户数增加到4个，此时系统不存在零空间，依照本文算法得到的第k个用户保密容量与和容量的仿真如图4和图5所示。

图4可以看出在系统不存在零空间的情况下，通过人工噪声仍然可以提高系统的保密容量。但是，由于系统不存在零空间，其保密容量比有零空间下的系统保密容量有下降。并且，当有用功率分配系数为0.8且70≤σn2/σe2≤100时，系统不能实现安全通信。随着合法用户的信道条件变差，有用功率分配系数为0.6或0.4的保密容量逐步高于有用功率分配系数为0.8的保密容量。这表明在一定条件下，通过发射更多的人工噪声来扰乱窃听方，可以有效提高保密容量，从而实现安全通信。

图5表明当系统不存在零空间的情况下，人工噪声对合法用户有部分影响，所以通过人工噪声进行加密加剧了对和容量的损失，有用功率分配系数为0.8和0.4的和容量损失量为未加密前和容量的1/4和1/2。虽然和容量损失较大，但由于用户数的增多，其加密后的和容量高于系统存在零空间下的和容量。综上所述，本文算法的实质是通过损失一定的和容量来提高保密容量。

2、功率分配

假设总功率恒为500 mW，系统中第庇用户保密容量随有用信号功率分配系数变化的仿真如图6所示。当σn2/σe2=20，仿真得到的已知条件为：

A= 0.0775,B=0.0067,C=80,D=9.786 xl0-4,E= 1.0048,F=0.0012,G=4

代入式(10)并解方程可以得出使保密容量最大（即安全传输下的最大传输速率）的功率分配系数为妒，同理当σn2/σe2变动时，只变动e即可。

图6表明在不存在零空间的多用户多输入多输出系统中，人工噪声的发射功率过小尤其是小于总功率的0.1情况下，保密容量急速下降，条件更差的情况下就不能实现安全传输。随着合法用户信道条件变差，最佳分配系数也逐步左移，即在窃听方信道明显优于合法用户的时候，分配的人工噪声功率也越来越多。