一种基于混沌序列控制的3D cat映射加密算法

Shannon密码理论指出，通过统计分析可以破解多种密码，但采用混乱扩散的方法可以抵抗统计攻击，Chen等将二维Arnold变换推广到三维，提出了一种3D cat映射加密算法，虽然进行多次置乱和混淆，但一旦密钥确定了，对应3D cat映射的矩，阵参数就固定不变，将混沌序列进行量化，再用量化序列进行置乱，量化过程是一个信息损失的过程，这使得解密者无法推测混沌系统的初值。而提出了一种复合混沌系统的思想，产生出4个混沌序列，经异或运算得到新的复合序列，使得解密者无法由破译的加密模板来推测混沌系统。

本文提出了一种改进的3D cat映射，使每次变换后矩阵的参数都发生变化，并综合运用Logistic映射、Chebyshev映射、Chen系统生成的符号控制序列，对图像文件进行加密。

一、混沌系统

1、Logistic和Chebyshev系统

一类非常简单而又应用广泛的混沌系统是Logistic系统：

在0.569 945 6--μ≤4时，Logistic呈混沌状态，μ∈(O，1)，k∈N。另一类是Chebyshev映射：

其中Xk∈(-1，1)，k∈N。

经过简单的变量代换，式(1)等价于：

其中入∈[o，2]，Xk∈(-1，1)，入=2时为满射。分析可知，Logistic和Chebyshev具有自噪声、对初始值敏感等特性，这对图像文件加密是有益的。

2、Chen系统

Chen系统表示为：

其中a，b，c是正实数，当a=35，b=3，c∈[20，28.4]时，系统是混沌的。

3、3D cat映射变换

经典Arnold变换是二维可逆混沌映射：

其离散形式为：

其中N为图像的大小，n为自然数。首先将二维离散Arnold映射推广为：

其中a，b为正整数，其中的映射矩阵也是一个保面积的可逆变换。然后通过上述二维映射来构造3个三维映射：

其中ax，ay，az，bx，by，bz均为正整数．记上面3个矩阵分别为A1，A2, A3，可构造A =A1xA2 xA3，则：

称上述变换为3D cat映射，由于detA=1，故3D cat映射为保面积变换。取ax=ay=az=bx=by=bz=1，则：

对应Lyapunov指数为σ1=--7.184 2，σ2=0.243 0，σ3=0,572 8。而Arnold变换对应LyapunoV指数为σ1=2,618 0，σ2=0.382 0。Ly8punov指数越大，对应系统的混沌性越强，故3D cat映射(6)要比Arnold映射(5)混沌性强，图1是Amold与3D cat映射对256×256的lena图像加密次数效果图。

采用向德生等计算两变换的置乱度算法，任一像素与四周相邻像素的像素值之差为：

其中，I（x，y）为图像I在（x，y)处的灰度值，（xi，yi)为(x,y)上下左右4个相邻像素，除去图像边缘上的像素外，相加D(x，y)平均即得到整个图像的平均相邻灰度差为：

定义灰度值置乱度为：

其中M，N为图像的行、列数，ED，ED'为分别表示置乱前、后图像的平均相邻灰度差，这样，ED∈（-1,1）值范围．若置乱度小于O，表示置乱效果比原图还差；若置乱度大于0，则表示灰度置乱效果比原图要好，而且越趋近于1越好。

表1列出了两变换对不同大小图像的置乱度η（以256级灰度值，置乱一次为例），表2列出两变换对不同大小图像周期T的比较，表3列出了两变换的加密次数与时间t的关系（以cpu:1.41GHz，内存：5 12为例）。

显然，从上面各种角度比较两种变换，3D cat映射比Arnold变换有更好的效果。

二、置乱算法

1、算法设计

本文密钥为x0，Yo，n，这里xo，yo为混沌系统迭代初始值，n为加密次数，首先由Chen系统(4)产生3D cat映射矩阵A的参数，用该映射对图像进行位置置乱。Chen系统的初始值为：

其中1≤i≤n为置乱次数．这样每置乱一次，对应矩阵A的参数也是变化的，与原来的3D cat映射参数固定相比，增加了矩阵的不确定性，提高了破译难度。

其次由密钥xo通过式(1)生成混沌序列，并转化为符号控制序列：

再由密钥yo通过式(2)或式(3)生成替换序列{yk}，我们按以下规则生成{yk}：

由于此时{yk}并不是均匀分布的，对其作一反余弦变换，即：

则{yk'}为均匀分布的，将其转化为2k值序列，由此序列再与原图像按位异或运算，便得到加密图像。由于式(8)并非是由一个混沌系统生成，而是两个系统复合得到的，破译者很难根据混沌序列的特点来估计该系统。

2、算法步骤

加密步骤如下：

1)输入图像，记图像矩阵为I，由xo通过式(1)生成混沌，并转化为符号控制序列{xK}；

2)由Y0作初值，按式(8)规则生成置乱序列，并转化为2K值序列{yk}，本文取k=8；

3)由式(7)生成zo作为Chen系统(4)的初值，生成3D cat映射的矩阵系数，进而与图像作置乱，得到II；

4)由II再与{yk}进行按位异或运算得到III;

5)重复步骤3）和4）n次，得到最终加密图像。

解密过程为上述过程的逆过程，一般对于混沌序列我们不取它的初始部分，会得到更好的加密效果。

三、实验结果

采用本文方法对图像进行加密，图1是对256×256的lena灰度图像的加密结果，所取密钥为双精度xo=0.123 456 789 012 345 6，y0=0.123 456012 345 6789，n=5，加密及解密结果见图2，其中，(a)为原图，(b)为加密图，(c)为正确密钥的解密图。(d)为错误密钥的解密图，所取密钥为xo= 0.1234567890123455，yo=0.123456012345 6789，n=5。可见10-i6的差别便不能正确解密，密钥空间为：1016×1016×28=2.560 0×1034。

图3是与图2相对应图像的灰度直方图（横轴为灰度值，纵轴为像素数），加密图像和错误密钥解密图像的直方图分布均匀，与原图像没有任何相似之处，有效地防止了统计攻击。

表4列出Chen等m算法与本文算法所生成加密图像与原图相关系数P1，p2的比较，其中Po为原图的自相关系数，可见本文算法更能有效地破坏图像像素间的相关性。

图4是对加密图像进行的攻击试验，其中(a)是剪切密图，(b)是对(a)的解密图，(c)，(d)分别是对添加20%的椒盐噪声、2%的高斯噪声的解密图，(e)是对加密图进行jpeg压缩，压缩因子为50%。由图4可知，算法对有损压缩和信道噪声产生的失真具有良好的抵抗能力。